练习

基础题

设某路口每小时通过的车辆数服从 $Poisson(\lambda)$ 分布。现观测到以下样本数据：

[3, 5, 2, 7, 4, 6]

求参数 $\lambda$ 的MLE估计值。

已知某金融产品的日收益率服从 $N(\mu, 0.2^2)$ ，观测到10天的收益率（%）为：

[1.2, -0.5, 2.3, 0.7, 1.8, -1.1, 0.9, 1.5, 2.0, 0.3]

求 $\mu$ 的MLE估计。

假设某保险理赔金额服从 $Gamma(\alpha=3, \lambda)$ 分布，现有6笔理赔记录（万元）：

[2.1, 3.4, 1.8, 2.9, 2.5, 3.1]

求 $\lambda$ 的MLE估计。

设 $X_1,...,X_n \sim Uniform(0,\theta)$ ，请：
(1) 用MOM方法估计
$\theta$
(2) 用MLE方法估计
$\theta$
(3) 比较两种估计量的有效性

某量化团队对两种收益分布模型产生分歧：

现有一组收益数据，如何利用MLE原理进行模型选择？请说明具体实施步骤。

$\hat{\lambda} = \bar{x} = \frac{3+5+2+7+4+6}{6} = 4.5$

$\hat{\mu} = \bar{x} = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10} x_i = 1.01\%$

已知 $\alpha=3$ ，由MLE方程：

$\hat{\lambda} = \frac{\alpha}{\bar{x}} = \frac{3}{(2.1+3.4+1.8+2.9+2.5+3.1)/6} = \frac{3}{2.633} \approx 1.14$

(1) MOM估计：

$\hat{\theta}_{MOM} = 2\bar{X}$

(2) MLE估计：

$\hat{\theta}{MLE} = X{(n)} = \max\{X_1,...,X_n\}$

(3) 有效性比较：

分别计算两个模型的对数似然值：
- 对 $N(\mu,\sigma^2)$ ： $\ell_N = -\frac{n}{2}\log(2\pi\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum(x_i-\mu)^2$
- 对 $Laplace(\mu,b)$ ： $\ell_L = -n\log(2b) - \frac{1}{b}\sum|x_i-\mu|$

估计各模型参数：
- 正态： $\hat{\mu}=\bar{x}$ , $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^2$
- 拉普拉斯： $\hat{\mu}=median(x)$ , $\hat{b}=\frac{1}{n}\sum|x_i-median(x)|$