练习

练习题

马尔可夫不等式

1. 题1：设随机变量 $X \geq 0$ 且 $E[X] = 5$，用马尔可夫不等式估计 $P(X \geq 15)$ 的上界。

2. 题2：若 $X \sim Exp(\lambda)$（指数分布），证明马尔可夫不等式给出的 $P(X \geq a)$ 的上界为 $\frac{1}{\lambda a}$，并与真实概率 $e^{-\lambda a}$ 比较。

切比雪夫不等式

1. 题3：已知随机变量 X 的均值为 50，方差为 25。用切比雪夫不等式求：
   • (a) $P(|X - 50| \geq 10)$ 的上界
   • (b) $P(40 \leq X \leq 60)$ 的下界

2. 题4：设 $X \sim Uniform(0,1)$，计算 $P(|X - 0.5| \geq 0.2)$ 的真实概率，并与切比雪夫不等式的结果对比。

方差为零的推论

1. 题5：若 $Var(X) = 0$，试直接通过概率定义（无需用切比雪夫不等式）证明 $P(X = E[X]) = 1$。

参考答案

题1

$P(X \geq 15) \leq \frac{E[X]}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

题2

马尔可夫上界：


$P(X \geq a) \leq \frac{E[X]}{a} = \frac{1/\lambda}{a} = \frac{1}{\lambda a}$

真实概率（指数分布的无记忆性）：


$P(X \geq a) = e^{-\lambda a}$

对比：当 $\lambda a < 1$ 时，马尔可夫上界比真实概率宽松（例如 $\lambda=0.5, a=2$，上界为 1，真实值为 $e^{-1} \approx 0.367$）。

题3

• (a)

  
  
  $P(|X - 50| \geq 10) \leq \frac{25}{10^2} = 0.25$

• (b)

  
  
  $P(40 \leq X \leq 60) = P(|X - 50| \leq 10) \geq 1 - \frac{25}{10^2} = 0.75$

题4

真实概率（均匀分布）：


$P(|X - 0.5| \geq 0.2) = P(X \leq 0.3 \text{ 或 } X \geq 0.7) = 0.3 + 0.3 = 0.6$

切比雪夫上界：


$Var(X) = \frac{1}{12}, \quad P(|X - 0.5| \geq 0.2) \leq \frac{1/12}{0.2^2} = \frac{1}{12 \times 0.04} \approx 2.083$

对比：实际概率为 0.6，但切比雪夫给出上界 2.083（无意义，因概率 ≤1）。说明切比雪夫不等式对某些分布可能过于宽松。

题5

证明：

• 设$\mu = E[X]$，若 $Var(X) = E[(X - \mu)^2] = 0$，则积分$\int_{-\infty}^\infty (x - \mu)^2 f_X(x) dx = 0$。

• 被积函数 $(x - \mu)^2 f_X(x) \geq 0$，积分为零当且仅当 $(x - \mu)^2 f_X(x) = 0$ 几乎处处成立。

• 因此 $f_X(x) = 0$ 对所有 $x \neq \mu$，即 $P(X = \mu) = 1$。