练习

题目1：离散型边际分布

设二维离散随机变量(X,Y)的联合pmf为：


$p(i,j) = \begin{cases} 0.1 & (i,j)=(0,0) \\ 0.4 & (i,j)=(0,1) \\ 0.2 & (i,j)=(1,0) \\ 0.3 & (i,j)=(1,1) \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$

求：(a) X的边际pmf (b) P(Y=1)

题目2：联合事件概率

使用题目1的联合pmf，计算：


$P(X \geq 0.5,\ Y < 1.5)$

题目3：连续型概率计算

设联合pdf为：


$f(x,y) = \begin{cases} ke^{-2x}e^{-3y} & x>0,\ y>0 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$

求：(a) 常数k (b) P(X+Y < 1)

题目4：区域概率转换

已知联合分布函数：


$F(x,y) = 1 - e^{-x} - e^{-y} + e^{-x-y} \quad (x>0,y>0)$

验证公式：


$P(X>2,Y>3) = e^{-5} - e^{-2} - e^{-3} + 1$

题目5：实际应用

某设备两个零件的寿命X,Y服从：


$f(x,y) = \begin{cases} 0.25e^{-0.5x}e^{-0.5y} & x>0,y>0 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$

求零件A比零件B先失效的概率P(X < Y)

答案

答案1

(a)


$\begin{aligned} P(X=0) &= 0.1+0.4=0.5 \\ P(X=1) &= 0.2+0.3=0.5 \end{aligned}$

(b)


$P(Y=1) = 0.4+0.3=0.7$

答案2

$\begin{aligned} P(X \geq 0.5, Y < 1.5) &= P(X=1,Y=0) + P(X=1,Y=1) \\ &= 0.2 + 0.3 = 0.5 \end{aligned}$

答案3

(a) 归一化条件：


$\int_0^\infty \int_0^\infty ke^{-2x}e^{-3y} dx dy = k \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow k=6$

(b) 积分区域转换：


$\begin{aligned} P(X+Y<1) &= \int_0^1 \int_0^{1-y} 6e^{-2x}e^{-3y} dx dy \\ &= 6\int_0^1 e^{-3y} \left( \frac{1 - e^{-2(1-y)}}{2} \right) dy \\ &= 1 - 3e^{-2} + 2e^{-3} \end{aligned}$

答案4

利用公式：


$P(X>2,Y>3) = 1 - F(2,3) = e^{-5}$

原题表达式有误，正确结果为单指数项

答案5

$\begin{aligned} P(X<Y) &= \int_0^\infty \int_0^y 0.25e^{-0.5x}e^{-0.5y} dx dy \\ &= 0.25 \int_0^\infty e^{-0.5y} \left( 2(1 - e^{-0.5y}) \right) dy \\ &= 0.5 \quad (\text{对称性直接得结果}) \end{aligned}$