练习

练习题

某基金声称其年化收益率不低于8%。监管部门抽取36个月的数据，测得平均收益率 $\bar{x}=7.5\%$ ，已知总体标准差 $\sigma=1.2\%$ 。在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下，能否支持该基金的声明？

某交易所宣称股票交易延迟均值为2.5毫秒。随机检测50笔交易，测得 $\bar{x}=2.6$ 毫秒， $\sigma=0.3$ 毫秒。使用 $\alpha=0.01$ 检验交易延迟是否有显著变化。

质检部门怀疑某生产线罐装饮料净含量不足500ml。抽取16罐测得 $\bar{x}=498$ ml，样本标准差 $s=4$ ml。设 $\alpha=0.05$ ，是否需要调整产线？（假设服从正态分布）

某策略回测显示60个交易日的平均超额收益 $\bar{x}=0.3\%$ ，已知 $\sigma=0.8\%$ 。计算：
a) 检验
$H_0: \mu=0$ vs $H_1: \mu>0$ 的P值
b) 若
$\alpha=0.01$ 是否拒绝 $H_0$ ？

建立95%置信区间判断习题2的结论是否与假设检验一致。已知：

$z_{0.025}=1.96,\quad \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0.3}{\sqrt{50}} \approx 0.0424$

假设设立

$H_0: \mu=8\%$ vs $H_1: \mu<8\%$ （左尾检验）

检验统计量

$z = \frac{7.5-8}{1.2/\sqrt{36}} = \frac{-0.5}{0.2} = -2.5$

临界值

$z_{0.05}=-1.645$ （左尾）

结论

因 $-2.5 < -1.645$ ，拒绝 $H_0$ ，认为收益率显著低于8%

假设设立

$H_0: \mu=2.5$ vs $H_1: \mu \neq 2.5$

检验统计量

$z = \frac{2.6-2.5}{0.3/\sqrt{50}} = \frac{0.1}{0.0424} \approx 2.36$

临界值

$|z_{0.005}|=2.576$

结论

因 $2.36 < 2.576$ ，不拒绝 $H_0$ ，交易延迟无显著变化

使用t检验

自由度 $df=15$ ， $t_{0.05,15}=1.753$

检验统计量

$t = \frac{498-500}{4/\sqrt{16}} = \frac{-2}{1} = -2$

结论

因 $-2 < -1.753$ （左尾），拒绝 $H_0$ ，建议调整产线

a) P值计算

$z = \frac{0.3-0}{0.8/\sqrt{60}} \approx 2.90 \\ P = P(Z>2.90) = 1-\Phi(2.90) \approx 0.0019$

b) 决策

因 $0.0019 < 0.01$ ，拒绝 $H_0$ ，策略有显著超额收益

置信区间计算

$2.6 \pm 1.96 \times 0.0424 = [2.517, 2.683]$

判断

原假设值 $2.5$ 不在区间内，与假设检验结论一致（应拒绝 $H_0$ ，但实际习题2中未拒绝，说明存在矛盾。注：此处揭示置信度选择对结论的影响）