练习

练习题

1. 基础计算

从总体方差 $\sigma^2 = 16$ 的分布中抽取 $n=64$ 的样本：

1. 计算样本均值的标准误（SE）

2. 若实际样本标准差 $s=4.2$，估算此时的标准误

2. 样本方差计算

给定样本数据：3, 7, 5, 9, 11

1. 计算样本均值 $\bar{x}$

2. 计算无偏样本方差 $s^2$

3. 偏差分析

某温度计测量值为 $X_i = w + 0.3 + \epsilon_i$，其中 $\epsilon_i \sim N(0, 0.5^2)$

若用 $\bar{X}$ 估计真实温度 $w$：

1. 求偏差 $\text{Bias}(\bar{X})$

2. 当 $n=50$ 时，计算 MSE

4. MSE分解验证

已知某估计量 $\hat{\theta}$ 满足：

• $E(\hat{\theta}) = \theta + 2$

• $\text{Var}(\hat{\theta}) = 9$
  求该估计量的 MSE
  

5. 理论证明

证明对任意估计量 $\hat{\theta}$：

$\text{MSE} = E[(\hat{\theta}-\theta)^2] = \text{Var}(\hat{\theta}) + [E(\hat{\theta})-\theta]^2$

6. 综合应用

某工厂零件长度真实均值为 $\mu=10\text{cm}$，测量系统存在偏差 $b=0.2\text{cm}$，测量方差 $\sigma^2=0.25$：

1. 计算使用 $n=100$ 次测量的 MSE

2. 要达到 MSE ≤ 0.05 需要的最小样本量是多少？

答案与解析

1. 基础计算

1. $\text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{64}} = 0.5$

2. $\text{SE} \approx \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{4.2}{8} = 0.525$

2. 样本方差计算

1. $\bar{x} = \frac{3+7+5+9+11}{5} = 7$

2. $s^2 = \frac{1}{4}[(3-7)^2 + (7-7)^2 + (5-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2] = \frac{44}{4} = 11$

3. 偏差分析

1. $\text{Bias} = E(\bar{X}) - w = (w + 0.3) - w = 0.3$

2. $\text{MSE} = \frac{\sigma^2}{n} + b^2 = \frac{0.25}{50} + 0.09 = 0.005 + 0.09 = 0.095$

4. MSE分解验证

$\text{MSE} = \text{Var}(\hat{\theta}) + \text{Bias}^2 = 9 + 2^2 = 13$

5. 理论证明

$\begin{aligned} E[(\hat{\theta}-\theta)^2] &= E[(\hat{\theta}-E\hat{\theta} + E\hat{\theta}-\theta)^2] \ &= E[(\hat{\theta}-E\hat{\theta})^2] + 2E[(\hat{\theta}-E\hat{\theta})(E\hat{\theta}-\theta)] + (E\hat{\theta}-\theta)^2 \ &= \text{Var}(\hat{\theta}) + 0 + \text{Bias}^2 \end{aligned}$

6. 综合应用

1. $\text{MSE} = \frac{0.25}{100} + 0.2^2 = 0.0025 + 0.04 = 0.0425$

2. 解方程：

$\frac{0.25}{n} + 0.04 \leq 0.05 \Rightarrow n \geq \frac{0.25}{0.01} = 25$

需要最小样本量 25