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概率第5讲：连续随机变量 | Continuous Random Variables
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1. 定义与概率密度函数 | Definition and Probability Density Function (PDF) 1.1 连续随机变量的定义 1.2 概率密度函数的直观解释 2. 累积分布函数 | Cumulative Distribution Function (CDF) 2.1 CDF的定义 2.2 CDF与PDF的关系 3. 中位数 | Median 4. 生成均匀随机变量 | Generating Uniform Random Variables 4.1 概率积分变换（Probability Integral Transform） 4.2 逆变换方法（Inverse Transform Method） 5. 期望与方差 | Expectation and Variance 5.1 期望的定义 5.2 非负随机变量的期望（重要技巧） 学习建议 附：练习合集

概率第5讲：连续随机变量 | Continuous Random Variables

💡

查看全集：🎬概率与统计

1. 定义与概率密度函数 | Definition and Probability Density Function (PDF)

1.1 连续随机变量的定义

随机变量XX是连续型的，如果存在一个非负函数f(x)f(x)（称为概率密度函数，Probability Density Function, PDF），使得对任意实数集合BB有：

P(X∈B)=∫Bf(x)dxP(X \in B) = \int_B f(x) dx

关键性质：

  1. 规范性：∫−∞∞f(x)dx=1\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1
  1. 区间概率：P(a≤X≤b)=∫abf(x)dxP(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx
  1. 单点概率：P(X=a)=0P(X = a) = 0（连续变量在单点的概率为0）

1.2 概率密度函数的直观解释

对于极小量dxdx，有：

P(x<X<x+dx)≈f(x)⋅dx P(x < X < x + dx) \approx f(x) \cdot dx 


即
f(x)f(x)表示XX在xx附近单位长度的概率密度。

例1：设XX的PDF为f(x)=1b−af(x) = \frac{1}{b-a}（当a≤x≤ba \leq x \leq b），这是均匀分布的概率密度函数。计算P(a<X<c)P(a < X < c)，其中a<c<ba < c < b。

解：

P(a<X<c)=∫ac1b−adx=c−ab−a P(a < X < c) = \int_a^c \frac{1}{b-a} dx = \frac{c-a}{b-a} 

2. 累积分布函数 | Cumulative Distribution Function (CDF)

2.1 CDF的定义

对任意实数xx，定义：

F(x)=P(X≤x)=∫−∞xf(t)dt F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt 

2.2 CDF与PDF的关系

由微积分基本定理可得：

f(x)=ddxF(x) f(x) = \frac{d}{dx}F(x) 

性质：

3. 中位数 | Median

中位数xmedx_{med}满足：

F(xmed)=12 F(x_{med}) = \frac{1}{2} 

例2：求指数分布f(x)=λe−λxf(x) = \lambda e^{-\lambda x}（x≥0x \geq 0）的中位数。

解：

  1. 求CDF：F(x)=1−e−λxF(x) = 1 - e^{-\lambda x}
  1. 解方程1−e−λx=121 - e^{-\lambda x} = \frac{1}{2}
  1. 得xmed=ln⁡2λx_{med} = \frac{\ln 2}{\lambda}

4. 生成均匀随机变量 | Generating Uniform Random Variables

4.1 概率积分变换（Probability Integral Transform）

若XX有CDFF(x)F(x)，则：

F(X)∼Uniform(0,1) F(X) \sim Uniform(0,1) 

证明：
设
Y=F(X)Y = F(X)，则对0≤y≤10 \leq y \leq 1：

FY(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y)=P(X≤F−1(y))=F(F−1(y))=y\begin{aligned} F_Y(y) &= P(Y \leq y) \\ &= P(F(X) \leq y) \\ &= P(X \leq F^{-1}(y)) \\ &= F(F^{-1}(y)) = y \end{aligned}

4.2 逆变换方法（Inverse Transform Method）

若U∼Uniform(0,1)U \sim Uniform(0,1)，则：

X=F−1(U)X = F^{-1}(U)


服从CDF为
F(x)F(x)的分布。

学习建议：使用Python的numpy.random模块实践生成不同分布的随机数。

5. 期望与方差 | Expectation and Variance

5.1 期望的定义

E(X)=∫−∞∞xf(x)dx E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx 

性质：

5.2 非负随机变量的期望（重要技巧）

对非负随机变量YY：

E(Y)=∫0∞P(Y>y)dy E(Y) = \int_0^\infty P(Y > y) dy 

证明（交换积分次序）：

∫0∞P(Y>y)dy=∫0∞∫y∞fY(x)dxdy=∫0∞∫0xfY(x)dydx=∫0∞xfY(x)dx\begin{aligned} \int_0^\infty P(Y > y) dy &= \int_0^\infty \int_y^\infty f_Y(x) dx dy \\ &= \int_0^\infty \int_0^x f_Y(x) dy dx \\ &= \int_0^\infty x f_Y(x) dx \end{aligned}

例3：验证指数分布E(X)=1λE(X) = \frac{1}{\lambda}

解：

E(X)=∫0∞xλe−λxdx=[−xe−λx]0∞+∫0∞e−λxdx=0+1λ（分部积分法）\begin{aligned} E(X) &= \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x} dx \\ &= \left[ -x e^{-\lambda x} \right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-\lambda x} dx \\ &= 0 + \frac{1}{\lambda} \quad \text{（分部积分法）} \end{aligned}

学习建议

  1. 掌握积分换序技巧，建议练习交换积分次序的题目
  1. 通过绘制函数图像理解概率密度与累积概率的关系
  1. 使用编程工具（如Python）验证理论结果
  1. 重点记忆：PDF的规范性、期望的线性性、逆变换方法

附：练习合集

练习