练习

综合练习题

基础题

1. （E18改编）
   书架上有5本不同的数学书和3本不同的金融书，要求：
   

• 数学书必须放在一起

• 金融书必须放在一起
  求排列方式总数
  

1. （计数原理）
   某安全系统密码规则：
   

• 首字符：大写字母（26个）

• 第2-4位：数字（0-9）

• 第5位：特殊符号（@, #, $）
  求可能的密码组合总数
  

1. （排列应用）
   计算单词"FINANCE"满足以下条件的排列数：
   

• 元音字母（I, A, E）必须按顺序出现

• 辅音字母（F, N, N, C）中两个N不能相邻

进阶题

1. （组合恒等式）

   证明：

   $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}$

2. （综合应用）

   某投资组合包含：

• 6只科技股

• 4只金融股

• 5只消费股
  要求选择5只股票满足：
  

• 至少2只科技股

• 至多1只金融股
  求选择方式总数
  

1. （E26扩展）
   从26个字母中选取7个字母组成单词（不需有意义），要求：
   

• 恰好包含3个元音（A, E, I, O, U）

• 至少2个辅音是重复的
  求符合条件的单词总数
  

练习题答案

1. 解

   将数学书视为整体（1单元），金融书视为整体（1单元），共2个单元排列：

   $2! \times 5! \times 3! = 2 \times 120 \times 6 = 1440$

2. 解

   使用乘法原理：

   $26 \times 10^3 \times 3 = 26 \times 1000 \times 3 = 78,\!000$

3. 解

   分步计算：

• 固定元音顺序：视为3个特殊位置，排列数 $\frac{7!}{3!} = 840$

• 处理辅音N不相邻：使用插空法
  可用位置数：7-3=4 → 有效排列数
  $\binom{4}{2} \times \frac{4!}{2!} = 6 \times 12 = 72$
  最终结果：
  $840 \times 72 = 60,\!480$

1. 证明

   考虑组合意义：从两堆各n个物品中选n个

   左边：选k个从第一堆，n-k个从第二堆 → $\sum \binom{n}{k}\binom{n}{n-k}$

   右边：直接从2n个物品中选n个

   由对称性 $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$，得证

2. 解

   分情况计算：

   Case1 (2科, 0金, 3消)：

   $\binom{6}{2}\binom{4}{0}\binom{5}{3} = 15 \times 1 \times 10 = 150$

   Case2 (3科, 0金, 2消)：

   $\binom{6}{3}\binom{4}{0}\binom{5}{2} = 20 \times 1 \times 10 = 200$

   Case3 (2科, 1金, 2消)：

   $\binom{6}{2}\binom{4}{1}\binom{5}{2} = 15 \times 4 \times 10 = 600$

   Total: $150 + 200 + 600 = 950$

3. 解

   分步计算：

4. 选3个元音：$\binom{5}{3} = 10$

5. 选4个辅音（允许重复）：
   总数：
   $21^4$
   扣除无重复的情况：
   $P(21,4) = 21\times20\times19\times18$
   有效辅音组合：
   $21^4 - 21\times20\times19\times18 = 194,\!481$

6. 排列7字母（含至少2重复辅音）：
   
   $\frac{7!}{2!}$（假设只有1对重复）
   最终结果：
   
   $10 \times 194,\!481 \times 2520 = 4,\!903,\!261,\!200$

（注：此为近似解，实际情况需更精确的重复次数分析）