练习

习题1（过渡矩阵应用）

坐标系绕原点逆时针旋转45°得到新坐标系：

1. 求点P在原坐标系的坐标(3,1)对应的新坐标系坐标

2. 若点Q在新坐标系的坐标为(√2, 0)，求原坐标系坐标

习题2（标准矩阵构造）

定义线性变换 $T(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}x+2y\\3y-x\end{pmatrix}$，求其标准矩阵

习题3（正交矩阵验证）

判断以下矩阵是否正交矩阵，并说明理由：


$A = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

习题4（秩与核计算）

对于线性变换：

$T(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}x+y\\y-z\\0\end{pmatrix}$
求其秩和零化度，并验证秩-零化度定理

习题5（复合变换）

给定线性变换：


$S(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\mathbf{x},\quad T(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\mathbf{x}$

求复合变换
$T \circ S$ 的标准矩阵

参考答案

习题1解答

旋转矩阵：


$P = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}$

1. 新坐标：
   
   
   $P^{-1}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ -\sqrt{2} \end{pmatrix}$
   
   

2. 原坐标：
   
   
   $P\begin{pmatrix}\sqrt{2}\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$
   
   

习题2解答

标准基变换：


$T(\mathbf{e}_1) = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix},\quad T(\mathbf{e}_2) = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$

标准矩阵：


$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

习题3解答

验证正交性：

1. 列向量长度均为1：$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 1$

2. 列向量正交：$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$

3. $A^TA = I$
   结论：是正交矩阵
   

习题4解答

标准矩阵：


$A = \begin{pmatrix} 1&1&0 \\ 0&1&-1 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}$

1. 秩 = 2（前两行线性无关）

2. 零空间解系：$\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ ⇒ 零化度=1

3. 验证：2+1=3（输入空间维度）

习题5解答

复合变换矩阵：


$BA = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&-1\\1&2\end{pmatrix}$