练习

基础题

1. 矩阵乘法验证

   计算下列矩阵乘积 $AB$ 和 $BA$：

   
   
   $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$
   
   

2. 逆矩阵计算

   求矩阵 $C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵

3. 对称矩阵性质

   证明：若 $A$ 和 $B$ 是对称矩阵，则 $A - B$ 也是对称矩阵

进阶题

1. 幂零矩阵应用

   设 $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，验证 $N^2 = 0$，并求 $(I - N)^{-1}$

2. 特殊矩阵构造

   构造一个实数矩阵 $A$ 满足 $A^2 = -I$，并验证其性质

3. 矩阵方程求解

   解矩阵方程 $AX = B$，其中：

   
   
   $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$
   
   

参考答案

基础题答案

1. 矩阵乘法验证

   
   
   $AB = \begin{pmatrix} 1×5+2×7 & 1×6+2×8 \\ 3×5+4×7 & 3×6+4×8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$

   
   
   $BA = \begin{pmatrix} 5×1+6×3 & 5×2+6×4 \\ 7×1+8×3 & 7×2+8×4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$
   
   

2. 逆矩阵计算

   通过行变换 $[C|I] \rightarrow [I|C^{-1}]$：

   
   
   $\left[\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right]$
   
   

   $C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

3. 对称矩阵证明

   
   
   $(A - B)^T = A^T - B^T = A - B \quad \text{（因$A,B$对称）}$
   
   

进阶题答案

1. 幂零矩阵应用

   计算 $N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

   逆矩阵计算：

   
   
   $(I - N)^{-1} = I + N = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. 特殊矩阵构造

   例子：

   
   
   $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

   验证：

   
   
   $A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I$

3. 矩阵方程求解

   先求 $A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

   解为：

   
   
   $X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -4 & -5 \\ 4.5 & 6 \end{pmatrix}$