练习

1. 基础计算题

题目1：验证向量 $u = (1, -2, 3)$ 和 $v = (4, 5, 2)$ 是否正交，并计算它们的范数。

题目2：对向量组 $u_1 = (1, 1, 1),\ u_2 = (0, 1, 1),\ u_3 = (0, 0, 1)$ 应用 Gram-Schmidt 过程，求正交基。

2. 投影与最小二乘法

题目3：求向量 $w = (2, 4, 5)$ 在由 $v_1 = (1, 1, 1)$ 和$v_2 = (1, -1, 0)$ 张成的子空间上的投影。

题目4：求解超定方程组的最小二乘解：


$\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 1 \\ 3x + y = 4 \end{cases}$

3. 正交矩阵

题目5：验证矩阵 $Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ 是否为正交矩阵。

题目6：设矩阵 $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & c \end{pmatrix}$是正交矩阵，求参数 $a, b, c$ 的值。

4. 综合应用题

题目7：已知数据点 $(1,2),\ (2,3),\ (3,5)$，用最小二乘法求最佳拟合直线 $y = kx + b$。

参考答案

题目1

• 正交性验证：
  
  $u \cdot v = 1\cdot4 + (-2)\cdot5 + 3\cdot2 = 4 -10 +6 = 0 \quad \text{（正交）}$

• 范数计算：
  
  $\|u\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 +3^2} = \sqrt{14}$
  
  $\|v\| = \sqrt{4^2 +5^2 +2^2} = \sqrt{45}$

题目2

正交化过程：

1. $v_1 = u_1 = (1,1,1)$

2. $v_2 = u_2 - \frac{u_2 \cdot v_1}{\|v_1\|^2}v_1 = (0,1,1) - \frac{2}{3}(1,1,1) = (-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

3. $v_3 = u_3 - \frac{u_3 \cdot v_1}{\|v_1\|^2}v_1 - \frac{u_3 \cdot v_2}{\|v_2\|^2}v_2 = (0,0,1) - \frac{1}{3}(1,1,1) - \frac{1/3}{2/3}(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) = (0, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

正交基：

$\left\{ (1,1,1),\ \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right),\ (0, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \right\}$

题目3

1. 验证基的正交性：
   
   $v_1 \cdot v_2 = 1\cdot1 +1\cdot(-1) +1\cdot0 = 0 \quad \text{（正交）}$

2. 投影计算：
   
   $p = \frac{w \cdot v_1}{\|v_1\|^2}v_1 + \frac{w \cdot v_2}{\|v_2\|^2}v_2 = \frac{11}{3}(1,1,1) + \frac{-2}{2}(1,-1,0) = \left(3, 3, \frac{11}{3}\right)$

题目4

构造矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix},\ b = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$，解法方程：

$A^TA = \begin{pmatrix} 14 & 4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$,$\quad A^Tb = \begin{pmatrix} 19 \\ 6 \end{pmatrix}$

解得 $x = \frac{33}{26},\ y = \frac{9}{13}$。

题目5

计算 $Q^TQ$：

$Q^TQ = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = I$

结论：是正交矩阵。

题目6

由正交矩阵条件 $A^TA = I$：

1. 第1列单位化：$a^2 + b^2 = 1$

2. 第2列单位化：$0^2 + c^2 = 1 \Rightarrow c = \pm1$

3. 列正交性：$a\cdot0 + b\cdot c = 0 \Rightarrow b = 0$解得：$a = \pm1,\ b = 0,\ c = \pm1$（需保持行列符号一致）。

题目7

设直线方程为 $y = kx + b$，构造设计矩阵：

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix},\quad b = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$

解法方程$A^TA\begin{pmatrix} b \\ k \end{pmatrix} = A^Tb$，解得 $k = 1.5,\ b = 0.5$，最佳拟合直线为 $y = 1.5x + 0.5$。