练习

金融数学微分方程练习题

一阶常微分方程

分离变量法

1. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{y^2}$

2. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} = y^2 - 4y + 3$，并指出所有特解

齐次方程

1. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 + x^2}{xy}$

2. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{2y - x}{y + 2x}$

一阶线性微分方程

1. 用积分因子法解方程：$\frac{dy}{dx} + 3y = e^{2x}$

金融应用模型

1. 连续复利模型：解 $\frac{dA}{dt} = 0.05A + 200$，初始条件 $A(0) = 1000$

2. 市场渗透模型：$\frac{dP}{dt} = 0.1P(500-P)$，$P(0)=50$，求：(a) 解析解 (b) 当 $t \to \infty$ 时的渗透率

数值方法

1. 用泰勒展开求 $\ln(1+x)$ 在 $x=0$处的三阶展开式

2. 应用欧拉方法（步长$h=0.5$）求解：
   
   $\frac{dy}{dx} = x - y,\quad y(0)=2$
   求
   $y(1)$ 的近似值

3. 用欧拉方法分两步（$h=0.5$）求解：
   
   
   $\frac{dy}{dx} = y - x,\quad y(0)=1$

参考答案

分离变量法

1. 解：

2. 解：
   
   

齐次方程

1. 解：

2. 解：
   
   

   $$\begin{align*} 令\ y = zx &\Rightarrow \frac{dy}{dx} = z + x\frac{dz}{dx} \\ z + x\frac{dz}{dx} &= \frac{2zx - x}{zx + 2x} = \frac{2z - 1}{z + 2} \\ \int \frac{z+2}{-z^2 + 3} dz &= \int \frac{1}{x} dx \\ -\frac{1}{2}\ln|z^2 - 3| &= \ln|x| + C \\ 通解：\ y^2 - 3x^2 &= Ke^{-2y/x} \end{align*}$$

一阶线性方程

1. 解：
   
   

   $$\begin{align*} 积分因子\ \mu(x) &= e^{\int 3 dx} = e^{3x} \\ \frac{d}{dx}[e^{3x}y] &= e^{5x} \\ e^{3x}y &= \frac{1}{5}e^{5x} + C \\ y &= \frac{1}{5}e^{2x} + Ce^{-3x} \end{align*}$$

金融模型

1. 解：

   $$\begin{align*} 积分因子\ \mu(t) &= e^{-0.05t} \\ \frac{d}{dt}[e^{-0.05t}A] &= 200e^{-0.05t} \\ A(t) &= e^{0.05t}\left(1000 + \frac{200}{0.05}(1 - e^{-0.05t})\right) \\ &= 5400e^{0.05t} - 4400 \end{align*}$$

2. 解：
   
   P(t) = \frac{500}{1 + 9e^{-50t}} \\
   当\ t \to \infty,\ P \to 500
   
   

数值方法

1. 解：

2. 解：

3. 解：