练习

代数部分

1. 验证三角不等式：当 $a = -5$, $b = 3$ 时，计算 $|a + b|$ 和 $|a| + |b|$

2. 用二项式定理展开 $(2x - y)^3$

3. 分解因式：$64a^3 + 125b^3$

三角部分

1. 比较大小（用 < 连接）：$\sin 0.8$, $0.8$, $\tan 0.8$（角度单位：弧度）

2. 将 $\tan \theta = \frac{3}{4}$ 转换为 $\sin \theta$ 的表达式

微积分部分

1. 求导数：$f(x) = \sec^{-1}(x^2)$

2. 计算积分：$\int \cot 3x \, dx$

3. 求函数在 $x=1$ 处的导数值：$y = \tan^{-1}(\sqrt{x})$

综合应用

1. 证明：当 $x \in (0, \frac{\pi}{4})$ 时，$\frac{\sin x}{x} > \cos x$

2. 金融应用：连续复利公式 $A = Pe^{rt}$ 的二阶导数表示什么金融含义？

参考答案

1. 三角不等式验证

$|-5 + 3| = 2$，$|-5| + |3| = 8$，满足 $2 \leq 8$

2. 二项式展开

$(2x)^3 + 3(2x)^2(-y) + 3(2x)(-y)^2 + (-y)^3 = 8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3$

3. 因式分解

$(4a)^3 + (5b)^3 = (4a + 5b)(16a^2 - 20ab + 25b^2)$

4. 三角比较

$\sin 0.8 ≈ 0.717 < 0.8 < \tan 0.8 ≈ 1.088$

5. 三角转换

$\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{3}{5}$

6. 导数计算

$f'(x) = \frac{2x}{|x^2|\sqrt{x^4 - 1}} = \frac{2}{x\sqrt{x^4 - 1}} \quad (x > 1)$

7. 积分计算

$\frac{1}{3}\ln|\sin 3x| + C \quad (0 < x < \pi/3)$

8. 导数值计算

$\left.\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}\right|_{x=1} = \frac{1}{4}$

9. 不等式证明

利用 $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ 展开，比较 $\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} > \cos x = 1 - \frac{x^2}{2}$

10. 金融含义

二阶导数 $\frac{d^2A}{dt^2} = Pr^2e^{rt}$ 表示收益率加速度，反映复利增长速率的变化率

建议先独立完成练习后再对照答案，计算题请特别注意计算过程的正规性