第16讲：回归模型的违规情况 (Violations of Regression Models)

一、回归模型的核心假设回顾

在开始分析假设违反之前，我们需要明确线性回归的四个核心假设（Gauss-Markov条件）：

1. 线性性：自变量与因变量呈线性关系

2. 独立性：误差项之间相互独立

3. 同方差性：误差项的方差恒定

4. 正态性：误差项服从正态分布

当这些假设被违反时，模型的参数估计和统计推断将不可靠。

二、残差分析：诊断模型问题的关键

2.1 残差的正态性检验

Jarque-Bera检验原理：

其中S为偏度，K为峰度。当数据服从正态分布时，JB统计量服从χ²分布。

from statsmodels.stats.stattools import jarque_bera

# 生成正态分布残差示例
residuals_normal = np.random.normal(0, 1, 100)
jb_stat, pvalue, _, _ = jarque_bera(residuals_normal)
print(f"正态残差的p值: {pvalue:.4f}")

# 生成非正态残差示例
residuals_nonnormal = np.random.poisson(5, 100)
jb_stat, pvalue, _, _ = jarque_bera(residuals_nonnormal)
print(f"非正态残差的p值: {pvalue:.4f}")

2.2 异方差性（Heteroskedasticity）

概念解析

异方差性指误差项的方差随自变量的变化而变化，会导致：

• 参数估计仍无偏但不再有效

• 标准误估计有偏，影响假设检验

Breusch-Pagan检验步骤：

1. 用OLS估计原始模型，得到残差

2. 用残差平方对自变量回归

3. 计算LM统计量：LM = 0.5 * ESS ~ χ²(k)

import yfinance as yf
from statsmodels.stats.diagnostic import het_breuschpagan

# 下载苹果公司股票数据
data = yf.download('AAPL', start='2020-01-01', end='2023-01-01')
data['Return'] = data['Close'].pct_change().dropna()
X = sm.add_constant(np.arange(len(data))[1:])  # 时间趋势项
model = sm.OLS(data['Return'].iloc[1:], X).fit()

# 进行BP检验
bp_test = het_breuschpagan(model.resid, X)
print(f"BP检验p值: {bp_test[1]:.4f}")

解决方案：稳健标准误

# 比较普通标准误与稳健标准误
print("普通标准误:", model.bse)
robust_model = model.get_robustcov_results(cov_type='HC3')
print("稳健标准误:", robust_model.bse)

2.3 自相关（Autocorrelation）

Durbin-Watson检验

DW统计量范围：

• 0-2：正自相关

• 2-4：负自相关

• 2附近：无自相关

from statsmodels.stats.stattools import durbin_watson

dw = durbin_watson(model.resid)
print(f"DW统计量: {dw:.2f}")

Newey-West校正

# 应用Newey-West标准误
newey_model = model.get_robustcov_results(cov_type='HAC', maxlags=3)
print(newey_model.summary())

三、多重共线性检测与处理

3.1 方差膨胀因子（VIF）

$R_j²$是第j个自变量对其他自变量的决定系数

from statsmodels.stats.outliers_influence import variance_inflation_factor

# 示例：检测标普500与纳斯达克指数的共线性
data = yf.download(['^GSPC', '^IXIC'], start='2020-01-01', end='2023-01-01')['Close']
X = sm.add_constant(data[['^GSPC', '^IXIC']])

vifs = [variance_inflation_factor(X.values, i) for i in range(X.shape[1])]
print(f"VIF值: {vifs[1:]}")

3.2 解决方案实践

1. 剔除高相关变量（如保留标普500指数，剔除纳斯达克）

2. 主成分分析（PCA）降维

3. 增大样本量

四、综合案例：Anscombe四重奏的现代重现

# 获取四个不同模式的数据集
datasets = sm.datasets.get_rdataset("anscombe").data

fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 8))
for i, (ax, dataset) in enumerate(zip(axes.flat, datasets.values())):
    x = dataset['x']
    y = dataset['y']
    model = sm.OLS(y, sm.add_constant(x)).fit()
    ax.scatter(x, y)
    ax.plot(x, model.predict(), color='red')
    ax.set_title(f'Dataset {i+1}\nR²={model.rsquared:.2f}')
plt.tight_layout()

五、实践练习

1. 下载特斯拉(TSLA)和通用汽车(GM)的股票数据，分析它们的收益率是否存在异方差性

2. 对苹果公司日收益率建立时间趋势模型，检测并校正自相关问题

3. 计算道琼斯指数成分股之间的VIF值，找出共线性最高的三只股票

# 练习1示例代码
data = yf.download(['TSLA', 'GM'], start='2020-01-01', end='2023-01-01')
returns = data['Close'].pct_change().dropna()

# 构建回归模型
X = sm.add_constant(returns['TSLA'])
model = sm.OLS(returns['GM'], X).fit()

# 进行异方差检验
_, pvalue, _, _ = het_breuschpagan(model.resid, X)
print(f"Breusch-Pagan检验p值: {pvalue:.4f}")

通过系统性地诊断和处理这些假设违反问题，可以显著提高回归模型的可靠性和解释力。实践中建议建立标准化的诊断流程，在建模后自动进行假设检验并生成诊断报告。