第42讲：风险价值和条件风险价值 (VaR and CVaR)

一、核心概念解析

VaR（风险价值）：在给定置信水平α下，未来一段时间内投资组合可能承受的最大损失。例如α=95%的VaR为-10万元，表示未来有95%的概率损失不超过10万元。

CVaR（条件风险价值）：当损失超过VaR时，这些极端损失的平均值。反映尾部风险，比VaR更能体现危机情境。

关键公式对比

正态分布VaR计算公式：

其中：

• $\mu$ 为期望收益率

• $\sigma$ 为波动率

• $Z_\alpha$ 为置信水平对应的标准正态分布分位数

• $V$ 为投资组合价值

历史模拟法VaR计算公式：

其中：

• $R$ 为历史收益率序列

• $\alpha$ 为置信水平

条件风险价值(CVaR)计算公式：

其中：

• $f(r)$ 为收益率概率密度函数

• $r$为收益率

• $\alpha$为置信水平

二、模拟数据实战

生成模拟收益率

import numpy as np
import pandas as pd
import yfinance as yf
from scipy.stats import norm

# 生成10个正态分布的虚拟资产收益率
np.random.seed(42)
returns = np.random.normal(0.01, 0.1, (1000, 10))
returns = pd.DataFrame(returns, columns=[f'Asset_{i}' for i in range(10)])

权重设置与可视化

# 生成等权重组合
weights = np.ones(10) / 10

plt.figure(figsize=(10,4))
plt.bar(range(10), weights)
plt.title('等权重投资组合分配')
plt.xlabel('资产编号')
plt.ylabel('权重比例');

计算历史VaR

def historical_var(returns, weights, alpha=0.95, value=1e6):
    port_returns = returns.dot(weights)
    var = np.percentile(port_returns, 100*(1-alpha)) * value
    return var

print(f"95% VaR: {historical_var(returns, weights):,.2f} 元")

输出示例：95% VaR: -42,567.89 元

三、真实市场数据分析

获取历史数据

# 获取苹果、微软历史数据
tickers = ['AAPL', 'MSFT']
data = yf.download(tickers, start='2015-01-01', end='2020-01-01')['Close']

# 计算收益率
returns = data.pct_change().dropna()
returns.plot.hist(bins=50, alpha=0.6, figsize=(10,4))
plt.title('苹果与微软历史收益率分布');

动态权重VaR分析

# 生成随机权重
np.random.seed(42)
weights = np.random.random(len(tickers))
weights /= weights.sum()

# 计算滚动VaR
window = 252  # 1年交易天数
var_series = returns.rolling(window).apply(
    lambda x: np.percentile(x.dot(weights), 5)*1e6)

plt.figure(figsize=(10,4))
var_series.plot()
plt.title('滚动一年期95% VaR')
plt.ylabel('风险价值（万元）');

四、进阶对比分析

正态假设 vs 历史法

def normal_var(mu, sigma, alpha=0.95):
    return norm.ppf(1-alpha, mu, sigma)

mu = returns.mean().dot(weights)
sigma = np.sqrt(weights.T @ returns.cov() @ weights)

print(f"正态法VaR: {normal_var(mu, sigma)*1e6:,.2f} 元")
print(f"历史法VaR: {historical_var(returns, weights)*1e6:,.2f} 元")

CVaR计算实现

def conditional_var(returns, weights, alpha=0.95, value=1e6):
    port_returns = returns.dot(weights)
    var = np.percentile(port_returns, 100*(1-alpha))
    cvar = port_returns[port_returns <= var].mean() * value
    return cvar

print(f"CVaR: {conditional_var(returns, weights):,.2f} 元")

五、关键要点总结

1. 正态假设常低估尾部风险（见下图对比）

2. 历史法依赖数据质量，需定期更新

3. CVaR比VaR更全面反映尾部风险

4. 回看周期需平衡时效性与稳定性

# 分布对比可视化
plt.figure(figsize=(10,4))
plt.hist(returns.dot(weights), bins=50, density=True, alpha=0.6)
x = np.linspace(-0.1, 0.1, 100)
plt.plot(x, norm.pdf(x, mu, sigma), 'r-')
plt.legend(['正态分布', '实际收益'])
plt.title('收益分布对比');

六、练习题

1. 使用yfinance获取标普500指数（^GSPC）过去5年数据，计算其95% VaR

2. 比较等权重组合与70%股票+30%债券组合的CVaR差异

3. 当置信水平从95%提升到99%时，VaR和CVaR变化幅度有何不同？为什么？

提示：债券数据可使用TLT（20年以上美国国债ETF）

附：练习合集