第50讲：案例·基于卡尔曼滤波的配对交易 (Example: Kalman Filter Pairs Trade)

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动态趋势提取

与传统技术指标对比

移动平均缺陷：

滞后效应显著

窗口长度需要人工选择

对突变响应迟钝

卡尔曼优势：

自适应调整平滑强度

实时更新估计

概率框架量化不确定性

# 获取苹果公司股价数据
data = yf.download('AAPL', start='2018-01-01', end='2022-12-31')
prices = data['Close']

# 构建状态空间模型 (假设局部恒定趋势)
kf = KalmanFilter(
    transition_matrices=[1],          # 状态保持不变
    observation_matrices=[1],         # 直接观测价格
    initial_state_mean=prices.iloc[0],
    initial_state_covariance=1,
    observation_covariance=10,        # 假设观测噪声较大
    transition_covariance=0.1         # 允许趋势缓慢变化
)

# 执行滤波
state_means, state_covs = kf.filter(prices.values)

# 可视化结果
plt.figure(figsize=(12,6))
plt.plot(prices, label='原始价格', alpha=0.4)
plt.plot(prices.index, state_means, 'r-', lw=2, label='卡尔曼滤波')
plt.plot(prices.rolling(30).mean(), 'g--', label='30日MA')
plt.title('趋势提取效果对比')
plt.legend()
plt.grid(True)

参数调优技巧：

增大transition_covariance → 更快速响应变化

增大observation_covariance → 更强调历史趋势

通过极大似然估计自动优化参数

# 使用EM算法优化参数
kf = kf.em(prices.values, n_iter=10)
optimized_means, _ = kf.filter(prices.values)

时变Beta估计

动态风险系数建模

市场模型：

r_{stock,t} = \alpha_t + \beta_t r_{market,t} + \epsilon_t

其中：

$r_{stock,t}$ 表示股票在t时期的收益率

$r_{market,t}$ 表示市场在t时期的收益率

$\alpha_t$ 表示截距项

$\beta_t$ 表示系统性风险系数

$\epsilon_t$ 表示随机误差项

# 获取标普500和苹果收益率数据
market = yf.download('SPY', start='2015-01-01', end='2020-01-01')['Close'].pct_change().dropna()
stock = yf.download('AAPL', start='2015-01-01', end='2020-01-01')['Close'].pct_change().dropna()

# 数据对齐
common_idx = market.index.intersection(stock.index)
market, stock = market.loc[common_idx], stock.loc[common_idx]

# 构建动态回归模型
observation_matrix = np.ones((len(market), 1, 2))  # [截距项, 市场收益]
observation_matrix[:, 0, 1] = market.values

kf = KalmanFilter(
    n_dim_state=2,
    n_dim_obs=1,
    transition_matrices=np.eye(2),  # 参数随机游走
    observation_matrices=observation_matrix,
    initial_state_mean=[0, 1],
    initial_state_covariance=np.eye(2),
    observation_covariance=0.1,
    transition_covariance=[[0.0001,0],[0,0.0001]]  # 控制参数变化速度
)

# 执行滤波
state_means, _ = kf.filter(stock.values)

# 可视化时变Beta
plt.figure(figsize=(12,6))
plt.plot(common_idx, state_means[:,1], label='动态Beta')
plt.axhline(y=1, ls='--', color='gray', label='市场中性')
plt.title('苹果股票Beta系数动态变化')
plt.xlabel('日期')
plt.ylabel('Beta值')
plt.legend()

策略应用：

当Beta>1时：市场上涨时加仓，下跌时减仓

当Beta<1时：作为防御性资产配置

监测Beta突变预警系统风险

性能优化技巧

数值稳定性增强

平方根滤波：使用Cholesky分解避免协方差矩阵非正定

对数变换：改用对数概率防止下溢

并行处理：利用多核CPU加速计算

# 使用更稳定的KalmanFilter实现
from filterpy.kalman import KalmanFilter

kf = KalmanFilter(dim_x=2, dim_z=1)
kf.x = np.array([30., 10.])          # 初始状态
kf.P = np.diag([100., 100.])        # 初始不确定性
kf.F = np.array([[1., dt], [0., 1.]])  # 状态转移
kf.H = np.array([[1., 0.]])          # 观测函数
kf.Q = np.eye(2)*0.01               # 过程噪声
kf.R = np.array([[obs_noise**2]])   # 观测噪声

常见问题精解

Q1：如何处理非线性系统？

当存在非线性关系时，可采用：

扩展卡尔曼滤波(EKF)

def f(x, dt):
    return np.dot(F, x) + B

def h(x):
    return np.dot(H, x)

kf = ExtendedKalmanFilter(
    transition_functions=f,
    observation_functions=h,
    ...
)

无迹卡尔曼滤波(UKF)

from filterpy.kalman import UnscentedKalmanFilter
from filterpy.common import Q_discrete_white_noise

ukf = UnscentedKalmanFilter(
    dim_x=3, dim_z=1,
    dt=1, hx=hx, fx=fx,
    points=MerweScaledSigmaPoints(3, alpha=.1, beta=2., kappa=0.),
    ...
)

Q2：如何验证滤波器性能？

NEES检验：归一化估计误差平方

\epsilon = (x - \hat{x})^T P^{-1}(x - \hat{x})

该公式中：

$x$ 表示真实状态向量

$\hat{x}$ 表示状态估计值

$P$ 表示协方差矩阵

$\epsilon$ 表示归一化估计误差平方

应满足：

\epsilon \sim \chi^2(n)

其中 $n$ 表示状态向量的维度， $\chi^2(n)$ 表示自由度为n的卡方分布。

蒙特卡洛仿真：重复实验统计RMSE

残差分析：检查残差是否白噪声

创新应用方向

高频交易信号生成

订单簿动态建模：

状态变量：[中间价, 买卖价差, 订单流不平衡]

观测变量：最优买卖报价、成交记录

# L2订单簿数据示例
observations = np.load('orderbook.npy')

kf = KalmanFilter(
    transition_matrices=...,  # 基于市场微观结构理论
    observation_matrices=...,
    transition_covariance=...,# 反映市场波动率
    observation_covariance=... # 取决于数据质量
)

投资组合优化

动态跟踪组合权重：

\min_{w} \mathbb{E}[ (w^T r - r_{bench})^2 ]

其中：

$w$ 表示投资组合权重向量

$r$ 表示资产收益率向量

$r_{bench}$ 表示基准组合收益率

$w^T r$ 表示投资组合收益率

通过卡尔曼滤波对权重 $w_t$ 进行实时动态调整

这是一个最小化跟踪误差平方的优化问题，目标是使投资组合收益率尽可能贴近基准组合收益率。通过卡尔曼滤波实时调整权重 $w_t$ 。

综合练习：构建结合价格趋势和交易量的多因子滤波模型，预测短期价格走势

通过本教程的深度学习，您已掌握：

卡尔曼滤波的数学基础

金融场景下的实现技巧

性能优化与验证方法

前沿应用方向

下一步可探索：

结合深度学习构建混合模型

开发基于滤波器的实时交易系统

研究非高斯噪声下的鲁棒滤波方法

第49讲：卡尔曼滤波 (Kalman Filters)

第51讲：期货入门 (Introduction to Futures)