第21讲：置信区间 (Confidence Intervals)

置信区间（Confidence Intervals）是统计学中的核心工具之一，它通过样本数据为我们提供了一个估计总体参数（如均值、比例等）真实值的范围，并以置信水平（如95%或99%）量化这一估计的可靠性。在金融领域，置信区间的应用尤为广泛，它不仅帮助投资者和分析师理解投资组合预期回报率或风险度量（如波动率）的不确定性，还在风险管理和假设检验中扮演着重要角色。这里我们将深入探讨置信区间的理论基础、计算方法及其在量化金融中的实际应用。

一、核心概念解析

1.1 样本均值 vs 总体均值

在统计学和量化金融中，均值分为两种：

• 总体均值 (Population Mean)：研究对象全体数据的平均值，通常未知。在金融领域，总体均值可能代表某市场或资产的长期平均收益率。

• 样本均值 (Sample Mean)：从总体中抽取部分样本计算的平均值，是总体均值的无偏估计量，但受抽样误差影响。

关键公式：

其中，$\bar{x}$ 为样本均值，$x_i$ 为样本观测值，$n$ 为样本量。

示例:

假设随机生成10位女性的身高样本，总体均值为64 cm，标准差为5 cm：

import numpy as np
np.random.seed(10)
POPULATION_MU = 64   # 总体均值
POPULATION_SIGMA = 5 # 总体标准差

sample_size = 10
heights = np.random.normal(POPULATION_MU, POPULATION_SIGMA, sample_size)
print(f"样本均值: {np.mean(heights):.2f} cm")

在量化金融中，总体均值（如某股票的长期收益率）难以直接获得，因此通过样本均值进行估计。例如，分析某股票过去一年的日收益率来推测其长期表现。

1.2 标准误差 (Standard Error)

标准误差（SE）衡量样本均值分布的离散程度，反映样本均值与总体均值之间的差异。SE越小，样本均值越接近总体均值。
关键公式：

其中，$s$ 为样本标准差，$n$ 为样本量。

计算示例:

SE = np.std(heights, ddof=0) / np.sqrt(sample_size)
print(f"标准误差: {SE:.2f}")

# 使用scipy验证
from scipy import stats
print(f"Scipy计算结果: {stats.sem(heights, ddof=0):.2f}")

在金融时间序列中，收益率常存在自相关性或异方差性，普通SE可能低估不确定性。此时，可使用Newey-West调整标准误以提高估计精度。

1.3 错误解读和前提验证

错误解读

• 错误："95%置信区间表示真实均值有95%概率落在此区间内。"

• 正确："在重复抽样下，95%的置信区间会包含真实均值。"

说明：置信区间描述的是估计范围的可靠性，而非真实均值的概率分布。

前提验证

构建置信区间前需验证数据假设：

1. 正态性检验:若P值<0.05，拒绝正态性假设，需考虑非参数方法。

   from scipy.stats import jarque_bera
   jb_stat, pval = jarque_bera(returns)
   print(f"Jarque-Bera P值: {pval:.4f}")

2. 自相关检测：若检测到显著自相关，需调整标准误。

   from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
   lb_test = acorr_ljungbox(returns, lags=5)
   print(lb_test)

二、置信区间构建

置信区间是量化金融中评估参数估计不确定性的核心工具。表格整理了关键概念：

以下将介绍两种常用方法：

2.1 正态分布法（大样本）

当样本量$n>30$时，中心极限定理保证样本均值近似正态分布，可使用Z分数构建置信区间：

其中：

• $\bar{x}$为样本均值

• $Z_{\alpha/2}$ 为标准正态分布的临界值

• SE 为标准误

from scipy import stats

mean_height = np.mean(heights)
conf_level = 0.95
z_score = stats.norm.ppf((1 + conf_level)/2)
ci = (mean_height - z_score*SE, mean_height + z_score*SE)
print(f"95%置信区间: [{ci[0]:.2f}, {ci[1]:.2f}]")

在金融数据中，即使$n>30$，若数据偏态或厚尾（如股票收益率），正态分布法可能不适用，需验证前提条件。

2.2 t分布法（小样本）

当样本量$n \leq 30$时，样本均值分布更接近t分布，使用t分数构建置信区间：

其中：

• $\bar{x}$ 为样本均值

• $t_{\alpha/2, df}$ 为自由度为df的t分布的临界值

• SE 为标准误

df = sample_size - 1  # 自由度
t_score = stats.t.ppf((1+conf_level)/2, df)
ci_t = (mean_height - t_score*SE, mean_height + t_score*SE)

可视化对比:

import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-4, 4, 100)
plt.plot(x, stats.norm.pdf(x), label='Normal')
plt.plot(x, stats.t.pdf(x, df), label='t-dist (df=9)')
plt.legend()
plt.title("Normal vs t-Distribution")
plt.show()

小样本置信区间常用于分析短期市场行为或新资产表现，t分布的厚尾特性更适合小样本的不确定性。

三、应用实践

3.1 金融数据示例

以下以苹果公司（AAPL）股票为例，计算其2020-2022年日收益率的95%置信区间：

import yfinance as yf

# 获取苹果公司收盘价
data = yf.download('AAPL', start='2020-01-01', end='2023-01-01')
returns = data['Close'].pct_change().dropna()

# 计算95%置信区间
mean_ret = returns.mean()
SE_ret = stats.sem(returns)
ci = stats.norm.interval(0.95, loc=mean_ret, scale=SE_ret)

print(f"日均收益率: {mean_ret:.4%}")
print(f"95%置信区间: [{ci[0]:.4%}, {ci[1]:.4%}]")

金融数据常具自相关性和异方差性，建议使用Newey-West标准误调整置信区间：

import statsmodels.api as sm

model = sm.OLS(returns, np.ones_like(returns)).fit(cov_type='HAC', cov_kwds={'maxlags':5})
SE_NW = model.bse[0]
ci_NW = (mean_ret - 1.96*SE_NW, mean_ret + 1.96*SE_NW)
print(f"Newey-West调整95%置信区间: [{ci_NW[0]:.4%}, {ci_NW[1]:.4%}]")

3.2 假设检验

置信区间与假设检验密切相关。以下检验苹果股票日均收益率是否显著大于0：

t_stat, p_value = stats.ttest_1samp(returns, 0)
print(f"T统计量: {t_stat:.2f}, P值: {p_value:.4f}")

输出（示例）：

T统计量: 4.32, P值: 0.0000

解读：P值<0.05，拒绝原假设，认为日均收益率显著大于0。

综合练习

练习题1:

收集特斯拉(TSLA)过去3年的日收益率数据，计算其99%置信区间，并检验数据是否满足正态性假设。

练习题2:

生成一个自相关系数为0.6的AR(1)序列（n=50），比较普通SE与Newey-West调整后的SE差异。

# 提示：Newey-West调整示例
from statsmodels.stats.api import NeweyWest
model = sm.OLS(returns, sm.add_constant(np.ones_like(returns)))
results = model.fit(cov_type='HAC', cov_kwds={'maxlags':5})
print(results.conf_int())

附：练习合集