第30讲：资本资产定价模型与套利定价理论 (CAPM and APT)

一、基础概念与CAPM模型

1.1 风险类型解析

• 系统性风险：影响整个市场的风险（如利率变化、经济衰退），无法通过分散投资消除

• 特异性风险：单个公司特有的风险（如高管变动、产品问题），可通过分散投资降低

1.2 风险溢价机制

当投资组合充分分散时，只有系统性风险需要补偿：

1.3 CAPM核心公式

• $E(R_i)$：资产i的预期收益

• $R_f$：无风险利率

• $β_i$：资产的系统风险系数

• $E(R_m)$：市场组合预期收益

1.4 Beta系数计算实战

import yfinance as yf
import statsmodels.api as sm

# 获取数据
start = '2020-01-01'
end = '2021-01-01'
aapl = yf.download('AAPL', start, end)['Close'].pct_change().dropna()
spy = yf.download('SPY', start, end)['Close'].pct_change().dropna()
risk_free = yf.download('^IRX', start, end)['Close'].iloc[-1]/25200  # 转换为日利率

# 计算超额收益
excess_asset = aapl - risk_free
excess_market = spy - risk_free

# 回归计算Beta
model = sm.OLS(excess_asset, sm.add_constant(excess_market))
results = model.fit()
beta = results.params[1]
print(f'AAPL Beta: {beta:.2f}')

二、CAPM模型进阶应用

2.1 有效前沿构建

通过优化算法寻找最优投资组合：

import cvxopt as opt

# 生成随机收益数据
np.random.seed(42)
returns = np.random.randn(4, 1000)

# 投资组合优化
n = len(returns)
S = opt.matrix(np.cov(returns))
pbar = opt.matrix(returns.mean(axis=1))

# 约束条件
G = -opt.matrix(np.eye(n))
h = opt.matrix(0.0, (n,1))
A = opt.matrix(1.0, (1,n))
b = opt.matrix(1.0)

# 有效前沿计算
portfolios = [opt.solvers.qp(mu*S, -pbar, G, h, A, b)['x']
             for mu in np.logspace(-3, 3, 50)]

2.2 市场组合与CML线

资本市场线的斜率即最大夏普比率：

def sharpe_ratio(returns, rf):
    excess = returns - rf
    return excess.mean() / excess.std()

三、套利定价理论（APT）解析

3.1 多因子模型

APT基本公式：

其中：

$E(R_i)$表示资产i的预期收益率

$R_f$表示无风险利率

$\beta_{ij}$ 表示资产i对第j个因子的敏感度

$F_j$ 表示第j个因子的风险溢价

$k$ 表示模型中包含的因子数量

3.2 Fama-MacBeth回归

分两步估计因子风险溢价：

1. 时间序列回归估计因子载荷

2. 横截面回归估计风险溢价

# 因子数据准备
factors = pd.DataFrame({
    'Market': spy,
    'SMB': small_portfolio - big_portfolio,
    'HML': value_portfolio - growth_portfolio
})

# 第一步：时间序列回归
betas = []
for asset in assets:
    model = sm.OLS(asset_returns[asset], sm.add_constant(factors))
    betas.append(model.fit().params[1:])

# 第二步：横截面回归
final_model = sm.OLS(mean_returns, sm.add_constant(pd.DataFrame(betas)))
results = final_model.fit()

四、模型对比与实践应用

4.1 CAPM vs APT对比

4.3 实战练习

1. 使用yfinance获取特斯拉(TSLA)过去3年数据

2. 计算其相对于NASDAQ指数（^IXIC）的Beta值

3. 比较实际收益与CAPM预测收益的差异

# 练习参考答案
tsla = yf.download('TSLA', '2020-01-01', '2023-01-01')['Adj Close'].pct_change().dropna()
nasdaq = yf.download('^IXIC', '2020-01-01', '2023-01-01')['Adj Close'].pct_change().dropna()

model = sm.OLS(tsla - risk_free, sm.add_constant(nasdaq - risk_free))
results = model.fit()
beta_tsla = results.params[1]
predicted_return = risk_free + beta_tsla*(nasdaq.mean() - risk_free)

五、注意事项与更新

1. 市场数据接口已更新为yfinance

2. 实际应用需考虑交易成本与市场摩擦

3. 定期检查因子有效性（每季度或半年）

4. 结合基本面分析验证模型结果

通过本教程，读者可以系统掌握资产定价的核心模型，理解市场风险定价机制，并具备实际建模分析能力。建议通过练习巩固知识，并持续关注最新研究进展。

附：练习合集