第47讲：自相关与AR模型 (Autocorrelation and AR Models)

一、AR模型基础

1.1 定义与公式

自回归模型（Autoregressive Model）通过将时间序列的历史值作为自变量进行回归建模。AR(p)模型表示使用p个历史滞后项：

AR(1)模型公式

$X_t = c + φ₁X_{t-1} + ε_t$

AR(p)模型公式

$X_t = c + φ₁X_{t-1} + φ₂X_{t-2} + ... + φ_pX_{t-p} + ε_t$

其中：

• $X_t$：时间序列在t时刻的值

• $φ_i$：自回归系数（$i=1,2,...,p$）

• $ε_t$：白噪声误差项

1.2 协方差平稳性

建立AR模型需满足协方差平稳性：

1. 均值恒定：$E[X_t] = μ$（与时间无关）

2. 方差恒定：$Var(X_t) = σ²$（与时间无关）

3. 协方差仅与时间间隔相关：$Cov(X_t, X_{t+k}) = γ_k$

二、模拟AR过程

2.1 生成模拟数据

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(42)

def generate_ar_process(coefs, n=1000):
    p = len(coefs)
    X = np.zeros(n)
    for t in range(p, n):
        X[t] = np.dot(coefs, X[t-p:t][::-1]) + np.random.normal()
    return X

# 生成AR(2)序列：X_t = 0.5X_{t-1} + 0.3X_{t-2} + ε
ar_coefs = [0.5, 0.3]
X = generate_ar_process(ar_coefs)
plt.plot(X)
plt.title('模拟AR(2)序列')
plt.show()

2.2 序列特性分析

• 均值回复性：围绕固定均值波动

• 波动聚集：高波动后往往跟随高波动

小练习

尝试修改系数为[0.9, -0.5]，观察序列形态变化

三、AR模型的风险与挑战

3.1 尾部风险

AR序列比正态分布更易出现极端值：

from scipy.stats import norm

def compare_tails(data):
    plt.figure(figsize=(10,4))

    plt.subplot(121)
    plt.hist(data, bins=50, density=True)
    x = np.linspace(-4,4,100)
    plt.plot(x, norm.pdf(x), 'r')

    plt.subplot(122)
    plt.hist(np.diff(data), bins=50, density=True)
    plt.plot(x, norm.pdf(x), 'r')

compare_tails(X)

3.2 方差估计偏差

传统方差估计会导致置信区间错误：

from statsmodels.tsa.ar_model import AutoReg

model = AutoReg(X, lags=2).fit()
print('真实方差：', np.var(model.resid))
print('朴素估计：', np.var(X))

四、模型识别与检验

4.1 ACF与PACF分析

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf

plt.figure(figsize=(12,4))
plt.subplot(121)
plot_acf(X, lags=20, ax=plt.gca())

plt.subplot(122)
plot_pacf(X, lags=20, ax=plt.gca())
plt.show()

4.2 滞后阶数选择

使用信息准则选择最优p值：

max_lag = 5
aic_values = []
bic_values = []

for p in range(1, max_lag+1):
    model = AutoReg(X, lags=p).fit()
    aic_values.append(model.aic)
    bic_values.append(model.bic)

plt.plot(range(1,max_lag+1), aic_values, label='AIC')
plt.plot(range(1,max_lag+1), bic_values, label='BIC')
plt.legend()
plt.xlabel('滞后阶数')
plt.ylabel('信息准则值')

五、实战应用：股价预测

5.1 获取真实数据

import yfinance as yf
import pandas as pd

# 获取苹果公司股价
data = yf.download('AAPL', start='2018-01-01', end='2023-01-01')
prices = data['Close'].pct_change().dropna()  # 使用收益率序列

5.2 建立AR模型

from statsmodels.tsa.ar_model import AutoReg

# 自动选择最佳滞后阶数
model = AutoReg(prices, lags=5).fit()
print(model.summary())

# 预测未来5日
forecast = model.predict(start=len(prices), end=len(prices)+5)

小练习

尝试对MSFT股票收益率建立AR模型，比较不同滞后阶数的预测效果

六、模型评估进阶

6.1 残差诊断

residuals = model.resid

# 正态性检验
from statsmodels.stats.diagnostic import normal_ad
_, p_value = normal_ad(residuals)
print(f'正态性检验p值：{p_value:.4f}')

# 自相关检验
from statsmodels.stats.stattools import durbin_watson
print(f'DW统计量：{durbin_watson(residuals):.2f}')

6.2 滚动预测验证

train_size = int(len(prices)*0.8)
train, test = prices[:train_size], prices[train_size:]

predictions = []
for t in range(len(test)):
    model = AutoReg(train, lags=3).fit()
    pred = model.predict(start=len(train), end=len(train))
    predictions.append(pred[0])
    train = train.append(test.iloc[t])

plt.plot(test.values, label='真实值')
plt.plot(predictions, label='预测值')
plt.legend()

延伸学习建议

1. 比较AR模型与ARIMA模型的预测效果

2. 研究ARCH/GARCH模型对波动率的建模

3. 探索协整关系在配对交易中的应用