数值方法/Numerical Methods
本系列讲义基于《Python Programming And Numerical Methods: A Guide For Engineers And Scientists》一书的核心内容，旨在为金融数学初学者提供循序渐进的数值方法入门指南：
第1讲 线性代数与方程组第2讲 函数逼近与数值展开技术第3讲 求根与数值微积分方法第4讲 微分方程与变换方法应用第一部分：线性代数与方程组
线性方程组基础与求解（Linear Systems and Solution Methods）
- 高斯消元法（Gaussian Elimination）与LU分解（LU Decomposition）
- 迭代法：雅可比迭代（Jacobi Iteration）与高斯-赛德尔迭代（Gauss-Seidel Iteration）
特征值分析及应用（Eigenvalues and Applications）
- 幂法（Power Method）与反幂法（Inverse Power Method）
- 金融应用：协方差矩阵（Covariance Matrix）分析与主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）
回归分析技术（Regression Analysis）
- 普通最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）
- 正则化技术：岭回归（Ridge Regression）与LASSO
第二部分：函数逼近与数值展开
插值方法（Interpolation Methods）
- 拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）
- 牛顿插值（Newton Interpolation）
- 样条插值（Spline Interpolation）：自然样条、三次样条
- 金融应用：收益率曲线（Yield Curve）构建
级数展开与近似（Series Expansion）
第三部分：求根与数值微积分
数值求根技术（Root Finding Methods）
- 牛顿-拉夫森法（Newton-Raphson Method）
- 割线法（Secant Method）与不动点迭代（Fixed-Point Iteration）
- 金融应用：隐含波动率（Implied Volatility）求解
数值微分（Numerical Differentiation）
- 有限差分方法（Finite Difference Methods）：前向、后向和中心差分
数值积分技术（Numerical Integration）
- 基本积分规则：矩形法则（Rectangle Rule）、梯形法则（Trapezoidal Rule）
- 高斯求积（Gaussian Quadrature）
- 蒙特卡洛积分（Monte Carlo Integration）及其在期权定价中的应用
第四部分：微分方程与变换方法
常微分方程初值问题（ODEs - Initial Value Problems）
- 欧拉方法（Euler's Method）：显式与隐式
- 龙格-库塔方法（Runge-Kutta Methods）
- 预测-校正方法（Predictor-Corrector Methods）
- 金融应用：随机微分方程（Stochastic Differential Equations, SDEs）与资产价格模拟
边值问题求解（Boundary Value Problems）
- 有限差分方法（Finite Difference Method）在边值问题中的应用
- 有限元方法（Finite Element Method）简介
- 在期权定价中的应用：Black-Scholes偏微分方程
傅里叶分析与变换（Fourier Analysis and Transforms）
- 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）
- 快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）算法
- 功率谱分析（Power Spectrum Analysis）
学习建议
- 循序渐进：从线性代数基础开始，打好数学基础再进入高级主题
- 动手实践：每个章节配有Python代码示例，建议亲自编写和调试
- 理论结合实际：关注每个数值方法在金融中的实际应用场景
- 误差分析：始终关注数值方法的精度和适用条件
- 综合应用：尝试将不同方法结合应用于复杂金融问题
参考书目
- 《Python Programming And Numerical Methods: A Guide For Engineers And Scientists》
- 《Numerical Methods in Finance with C++》by Manfred Gilli
- 《Options, Futures, and Other Derivatives》by John C. Hull
- 《Numerical Methods for Finance》by John A. D. Appleby
