高阶课：二叉树定价模型与随机微积分
Stochastic Calculus for Finance I - The Binomial Asset Pricing Model
Explore the mathematics behind Black-Scholes-Merton (BSM) option pricing theory with Professor Esfan
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课程概述
本课程系统讲解金融衍生品定价的数学基础，以二叉树模型为核心工具，逐步构建Black-Scholes-Merton（BSM）期权定价理论的离散时间框架。课程内容强调数学严谨性，涵盖离散概率、鞅理论、随机过程等核心概念，为后续连续时间模型的学习奠定基础。适合具备微积分、概率论基础的本科生或研究生。
课程核心模块
- 金融衍生品导论
- 期货、远期与期权合约的结构与区别
- 期权类型（欧式、美式）及市场功能解析
- 二叉树无套利定价模型
- 单周期与多周期定价模型的构建
- 风险中性测度的推导与应用
- 美式期权提前行权的动态规划解法
- 离散概率与随机过程
- 条件期望、σ-代数与测度变换
- 鞅的定义及其在定价中的应用
- 马尔可夫过程的性质与资产价格建模
- 资本资产定价模型（CAPM）
- 二叉树框架下的系统性风险度量
- 风险溢价与市场组合的离散化表达
- 利率衍生品定价
- 带随机利率的债券期权定价
- 利率期限结构的离散建模方法
- 扩展应用与数值方法
- 随机游走模型与资产价格路径模拟
- 最小二乘蒙特卡洛（LSM）方法初探
教材与学习资源
- 主教材：
Steven E. Shreve,
Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model（Springer, 2004）- 特点：以严谨数学语言构建定价理论，提供大量证明与习题
- 辅助材料：
- 课程讲义（含离散随机积分推导细节）
- Quantopian平台实战代码案例（如美式期权定价Python实现）
课程进度安排
| 周次 | 主题 | 重点内容 |
| 1-2 | 衍生品基础与二叉树模型引入 | 远期合约盈亏分析、单步二叉树定价公式推导 |
| 3-4 | 多期模型与测度变换 | 自融资策略、Fundamental Theorem of Asset Pricing |
| 5-6 | 美式期权与最优停时问题 | Snell包络、向后归纳法 |
| 7-8 | 随机过程理论 | 马尔可夫性检验、离散鞅的Doob分解 |
| 9-10 | CAPM与投资组合优化 | 均值-方差前沿、Sharpe比率的离散形式 |
| 11-12 | 利率模型与课程综合应用 | Ho-Lee模型离散化、带利率衍生品定价实战 |
考核与评估体系
- 作业（40%）：每两周一次，包含证明题与数值计算（例：推导n期二叉树模型的风险中性概率）
- 期末考试（60%）：开卷笔试，聚焦模型推导与综合应用（例：构建带分红资产的定价模型）
- 证书获取：
- 总分≥85%：Quantopian卓越完成证书
- 总分≥70%：标准完成证书
数学预备知识要求
| 领域 | 具体要求 |
| 概率论 | 条件概率、期望、方差、大数定律 |
| 微积分 | Taylor展开、偏导数、基本微分方程 |
| 线性代数 | 矩阵运算、特征值 |
| 编程基础 | Python/Matlab实现简单数值计算（非必需但建议） |
课程特色
- 理论深度：从测度论角度严格证明定价公式，避免纯应用导向的"黑箱"式教学
- 渐进路径：通过离散模型直观理解连续时间随机积分的物理意义
- 历史视角：对比二叉树模型与BSM模型的历史演进，揭示金融数学发展逻辑
典型习题示例
- 证明在风险中性测度下，折现资产价格过程是鞅
- 用三周期二叉树计算美式看跌期权价格，分析提前行权的最优时点
- 推导带交易成本的二叉树模型套利边界条件
此课程为理解现代金融工程的核心数学模型提供了系统化训练路径，尤其适合志向量化研究、衍生品定价或学术深造的学员。课程强调“从离散到连续”的认知框架，可作为进入随机分析领域的关键跳板。